Na górze, w prawym górnym rogu fejsbukowej strony powinnaś mieć taki trójkącik skierowany w dół i jak to klikniesz to masz opcję wyloguj. Zakładam, że Ci chodzi o Facebooka stronę, nie Facebook messenger co nie?
Możesz też wyłączyć messenger na komputerze, w sensie w zakładce bezpieczeństwo możesz wyłączyć albo tam zdezaktywować sesję i też się powinno wyłączyć.