Cześć,
Tak, jak Zap wspomniał, możesz skorzystać z Mercury albo Dolphina, czyli z oddzielnej przeglądarki z wbudowanym menedżerem pobeirania plików. Safari niestety takiej opcji nie ma - np. pliki MP3 możesz odtworzyć w przeglądarce, ale już ich nie zapiszesz.
Jeżeli nie chcesz instalować drugiej przeglądarki w telefonie, to alternatywą jest aplikacja do samego pobierania plików, czyli tzw. Downloader.
Z przeglądarkami bywa różnie jest Mercury Browser i Dolphin Browser, obie są dostępne w wersji na iPhona i Maca też. Możesz spróbować ewentualnie pobrać te i spróbować jeszcze raz, może cos jest uszkodzone na Chrome? (ja chrome nie używam, beznadziejnie działa moim zdaniem). Skąd chcesz pobierać filmiki z Youtuba? Pozdro